Pflaster

Inspiriert von einem Bahnsteigpflaster in Ehrenfeld

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könnte man sich fragen wollen, wenn das da draußen ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge s1 ist und das da drinnen ein Quadrat mit Seitenlänge s2, bei welchem Verhältnis a = s2/s1 wäre dann die grüne Fläche so groß wie die rote:

hexagon_quadrat_beispiele

(Beispielillustrationen mit a = 0,5, 0,6, 0,7 und 0,8.)

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(Versuch weiter unten)

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hexagon_quadrat_hilfslinien

Zu tun: x und y bestimmen.

Die halbe Höhe h des Hexagons ist (s1/2)*tan(60°) = s1*(Wurzel(3)/2. Dann ist nach dem Strahlensatz:

s1/s2 = (h + y)/(s2/2 + y)
=> y = s1*a*(Wurzel(3) – 1)/(2*(1 – a))

Und ebenfalls nach dem Strahlensatz ist:

x/y = (s1/2)/(h + y)
=> x = s1*y/(2*(h + y))

Die Höhe h2 eines roten Dreiecks ergibt sich aus h2/(s1 – x) = cos(30°) als h2 = (s1 – x)*Wurzel(3)/2.

Dann sind die Flächen:

F1 = s1*(h + y)/2 – s2*(s2/2 + y)/2

F2 = s1*(s1 – x)*Wurzel(3)/4 – (s2/2 – x)*s2/4

F3 = s2^2

Wenn ich mich nicht vertue, folgt aus 2*F1 + F3 = 4*F2 ein Polynom vierten Grades für a. Weil das zu schwer zu lösen ist, lieber per Intervallschachtelung bestimmen und lande bei a = 0,63397:

hexagon_quadrat_loesung

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Nach vielem Verrechnen gestern und heute (Zeitaufwand mehrere Stunden) endlich die Gleichung für a gefunden:

2*a^4 – 4*a^3 – (4 – Wurzel(3))*a^2 + (9 – Wurzel(3))*a – 3 = 0

http://krottbrand.bplaced.net/filemanager/javas/gleichung_vierten_grades.html findet als eine Lösung 0,6339745962200538.

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Mist, Keno hat es auf Facebook viel geschickter gemacht! Die rote und die grüne Fläche ergänzen sich zur Hexagonfläche s1^2*Wurzel(3)*3/2. Die rote soll gleich groß sein wie die grüne, also ist die grüne die halbe Hexagonfläche. Sie setzt sich zusammen aus dem Quadrat s2^2 und den beiden Trapezen (s1 + s2)*h/2 mit der Höhe h = s1*Wurzel(3)/2 – s2/2. Daraus ergibt sich nur noch eine quadratische Gleichung für a:

a^2 + (Wurzel(3) – 1)*a – Wurzel(3)/2 = 0

mit den Lösungen a1 = (3 – Wurzel(3))/2 ~= 0,6339745962 und a2 = -(1 + Wurzel(3))/2 unzulässig, da negativ.

Müsste sich mein Polynom vierten Grades dann nicht durch Kenos zweiten Grades teilen lassen? Ja, es ist

2*a^4 – 4*a^3 – (4 – Wurzel(3))*a^2 + (9 – Wurzel(3)*a – 3 = (a^2 + (Wurzel(3) – 1)*a – Wurzel(3)/2)*(2*a^2 – 2*(1 + Wurzel(3))*a + 2*Wurzel(3))

Der so gewonnene zweite quadratische Term a^2 – (1 + Wurzel(3))*a + Wurzel(3) hat die Nullstellen 1 und Wurzel(3). a = 1 ist problematisch, weil die grüne Fläche in diesem Fall eigentlich doppelt so groß herauskommen sollte wie die rote. Aber ich hab bei der Gewinnung von y durch (1 – a) geteilt, also ist a = 1 verboten. Und was ist mit a = Wurzel(3)? Durch Wurzel(3) – a hab ich auch mal geteilt, also verboten, nämlich bei der Berechnung von x.

Muss Schluss machen, mir raucht der Kopf.

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