Grundriss

Ausgehend vom Grundriss der Kirche in Hamm-Bockum-Hövel, aus der Pfingstmontag das Erste einen Gottesdienst übertragen hat, könnte man versucht sein diesen Grundriss nachempfinden zu wollen, ausgehend von einem regelmäßigen Fünfeck und einem Kreis

unnuetze_frage

daran zwar scheitern, weil er außer Form ist, sich aber fragen, ob der gelbe Winkel ein rechter ist, wenn der rote ein rechter ist und die drei grünen gleich groß sind.

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(Versuch weiter unten)

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unnuetze_frage_loesung

Setzen wir den gelben Winkel aus α und β zusammen. Der halbe Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks ist (180° – 360°/5)/2 = 54°. Damit ist der Winkel α 180° – 90° – 54° = 36° groß. Für den Winkel β gilt tan(β) = d/e. Es gilt also d und e zu bestimmen.

Der halbe Zentralwinkel des Fünfecks ist 360°/10 = 36°. Wenn a die halbe Seitenlänge des Fünfecks ist, dann sind cos(54°) = a/c und sin(54°) = b/c. Daraus folgen c = a/cos(54°) und b = a*tan(54°).

Der Kreismittelpunkt ist vom Mittelpunkt des Fünfecks b + r entfernt. Ihr „Höhenunterschied“ ist b – r. Der eingeschlossene Winkel entspricht dem Zentralwinkel des Fünfecks. Daher gilt cos(72°) = (b – r)/(b + r). Daraus folgt r = b*(1 – cos(72°))/(1 + cos(72°)).

Nun sind d = a + r und tan(54°) = (e + 2*a)/(c + b – r). Die zweite Gleichung ergibt e = (c + b – r)*tan(54°) – 2*a.

Damit haben wir tan(β) = d/e = (a + r)/((c + b – r)*tan(54°) – 2*a) und können mit der Umkehrfunktion Arkustangens aus der rechten Seite β gewinnen.

Einfacher, als alle Strecken a, b, c und r auf eine zu bringen, um diese dann herauszukürzen, ist es, a irgendwie vorzugeben, daraus die anderen Strecken zu berechnen und aus diesen Zahlen tan(β) zu gewinnen. Es kommt 54,4° raus. Mit den 36° für α kommt man so auf einen gelben Winkel von 90,4°, das ist nur eine Idee mehr als ein rechter.

Man kann die Strecken auch eliminieren, dann bleibt so was wie β = arctan(1/tan(54°) + (1 – cos(72°))/(1 + cos(72°)))/((1/sin(54°) + 1 – (1 – cos(72°))/(1 + cos(72°)))*tan(54°) – 2/tan(54°)), was auch 54,4° ergibt😉

Oder ein paar Ausdrücke von hier verwenden und mit dem Kürzel w := Wurzel(5) kommt man auf tan(β) = (2 + w)/(3 + w) + (3 + 3*w)/(14 + 6*w)*Wurzel(1 + 2/5*w). Was auch zu β = 54,4° führt😀

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