Straßenüberquerung

Ein Problem aus der Praxis.

Kommt ein Auto, kann ich schnell abschätzen, ob ich es noch schaffe, vor ihm die Straße zu überqueren. Manchmal muss ich arg hetzen, und um weniger hetzen zu müssen, schlage ich eine schrägere Überquerung ein, um einem Zusammenprall zu entgehen. Das müsste man doch rechnen können, erwäge ich nach gelungener Überquerung müßig.

strassenueberquerung

Wenn b die Breite der Straße ist, e die Entfernung des Autos, v seine Geschwindigkeit, und ich überquere schräg im Winkel α die Straße (α = 0° bedeutet schnurstracks, α = 90°, ich komme nie an auf der anderen Seite), dann hat das Auto bis zum eventuellen Zusammenprall die Strecke e + a zurückzulegen und ich die Strecke c. Der Wegeinschlagwinkel α bedingt, dass c = b/cos(α) ist und a = b*tan(α). Daraus folgt, dass meine Fußgängergeschwindigkeit w größer sein muss als v/cos(α)/(tan(α) + e/b), um einem Zusammenprall zu entgehen.

Guckt man sich w/v an für feste e/b und variable α, findet man, dass die Kurve ein Minimum hat. Um herauszufinden, wo es liegt, die Ableitung nach α bilden und gleich null setzen. Mit x:= cos(α) ist w/v = 1/(Wurzel(1 – x^2) + x*e/b) und aus (w/v)‘ = 0 folgt x = (e/b)/Wurzel(1 + (e/b)^2) oder α = arccos((e/b)/Wurzel(1 + (e/b)^2)). Meine Geschwindigkeit w muss, um einem Zusammenprall zu entgehen, größer sein als v*(1 + (e/b)^2)/(1 + (e/b)^2*Wurzel(1 + (e/b)^2)).

Schneller als 10 km/h will ich nicht hetzen, daher, falls w > 10 km/h, stehenbleiben! Wenn e/b größer ist als die Geschwindigkeit des Autos, geteilt durch meine Standardgeschwindigkeit, dann ohne Winkel mit meiner Standardgeschwindigkeit über die Straße gehen, denn ich brauche die Zeit b/w und das Auto die längere Zeit e/v.

Beispielhafte Werte für v = 40 km/h:

e/b α w
3 nicht gehen!
3,5 nicht gehen!
4 nicht gehen!
4,5 12,5° 9,0 km/h
5 11,3° 8,1 km/h
5,5 10,3° 7,3 km/h
6 9,5° 6,7 km/h
6,5 8,7° 6,2 km/h
7 8,1° 5,8 km/h
7,5 7,6° 5,4 km/h
8 7,1° 5,0 km/h
8,5 5 km/h
9 5 km/h

und für v = 30 km/h:

e/b α w
3 nicht gehen!
3,5 15,9° 8,7 km/h
4 14,0° 7,6 km/h
4,5 12,5° 6,8 km/h
5 11,3° 6,1 km/h
5,5 10,3° 5,5 km/h
6 9,5° 5,0 km/h
6,5 5 km/h
7 5 km/h

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