Blume

blume_2

Wie groß ist die hellgrüne Fläche, wenn die Zahlen die Balkenbreiten angeben und die Kreise gerade so groß sind, dass – siehe Markierung?

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(Versuch weiter unten)

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Aus dem markierten Bereich ist ersichtlich, dass, wenn b0 die Breite des breitesten Balkens ist und b1 die des benachbarten, b0/2/r = sin(α) ist und b1/2/r = sin(β) = sin(45° – α) = sin(45°)*cos(α) – cos(45°)*sin(α) = (cos(α) – sin(α))/Wurzel(2) = (Wurzel(1 – sin(α)^2) – sin(α))/Wurzel(2). Α kennen wir nicht – es ist nicht die Hälfte von 45°, weil die Balken verschieden breit sind – aber für sin(α) können wir b0/2/r einsetzen, vomit r die einzige Unbekannte bleibt und sich errechnen lässt als Wurzel((b0^2 + Wurzel(2)*b0*b1 + b1^2)/2). 巧合 ist das Ergebnis symmetrisch, sonst wäre es falsch.

Die Kreise sind so weit von der Mitte entfernt, dass sich benachbarte so gerade berühren. Sei die Entfernung von der Mitte s, dann ist sin(45°/2) = r/s, das macht s = r/sin(22,5°).

Von den Kreismittelpunkten aus hat ein Balken die Fläche b*s. Davon sind zwei Kreissektoren abzuziehen, die gleich groß sind und einzeln die Fläche F = 2*(α/(2*π))*π*r^2 = α*r^2 haben mit sin(α) = b/2/r. Außerdem sind vier Dreiecke in den Ecken des Balkens abzuziehen, deren eines die Fläche b/2*Wurzel(r^2 – b^2/4) hat, alle vier zusammen also 2*b*Wurzel(r^2 – b^2/4).

Demnach beträgt die sichtbare Balkenfläche b*s – 2*r^2*arcsin(b/2/r) – 2*b*Wurzel(r^2 – b^2/4). Der Radius r aller Kreise ist gleich, nur die Balkenbreiten b sind verschieden. Für die acht Balkenbreiten die sichtbaren Flächen bestimmen und aufsummieren:

Balkennr. Balkenbreite sightbare Fläche
0 110 7964
1 42 2662
2 12 744
3 4 248
4 12 744
5 10 620
6 46 2929
7 30 1880
Summe   17792

Ein Kreis hat die Fläche π*r^2 = 32041. Die gesamte hellgrüne Fläche der Balken wäre also etwas größer als ein halber Kreis. Kann hinkommen *schätz*.

blume_3_700x700blume_4_500x500blume_5_556x556

这里 sind von links nach rechts die hellgrünen Flächen 77996, 33549 und 39162 groß, aber die 危险 des Verrechnens wird immer größer.

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