Acht Kreise

acht_kreise_analog

Aufgabe: Acht Kreise der Radien 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 Zentimeter so anordnen, dass sie einander berühren und ihre Mittelpunkte wiederum auf einem Kreis liegen. Welchen Radius hat dann dieser Anordnungskreis?

*

(Versuch weiter unten)

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

Aus der Skizze ist ersichtlich, dass gleichschenklige Dreiecke mit den Schenkeln R, wenn R der Radius des Anordnungskreises ist, aneinander anschließen. Ihre dritte Seite ist r(i) + r((i+1)%8), wenn r(i) der Radius des i-ten angeordneten Kreises ist. Daraus gewinnen wir den Zentralwinkel als α(i) = 2*arcsin(r(i) + r((i + 1)%8)/(2*R)). Zusammen sollen die Dreiecke einen Vollkreis ergeben: Summe(α(i); i=0..7) = 360°.

Aus den gegebenen r(i) = 2 + i permutiert kann ich R zwar nicht analytisch berechnen, aber mich ihm doch durch Intervallschachtelung nähern. Interessanterweise scheint er von der Anordnungsreihenfolge der Kreise abhängig. Denn wenn wie abgebildet die Reihenfolge [2, 9, 4, 6, 8, 7, 3, 5] ist, kommt R = 14,44 Zentimeter raus, wenn die Reihenfolge aber streng monoton [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] wäre, ein schlechterer Wert R = 14,52, und der beste, kleinste Radius R = 14,38 kommt raus bei der Reihenfolge [9, 2, 8, 4, 6, 5, 7, 3].

Beweisen kann ich es nicht, aber anscheinend scheint die Regel zu sein, seitlich an den größten Kreis die beiden kleinsten zu platzieren und dann ans kleinste lose Ende den verbliebenen größten Kreis zu setzen und umgekehrt.

acht_kreise_anordnungsregel

*

Unter Benutzung dieser Anordnungsregel lassen sich die folgenden vermutlich optimalen Anordnungskreisradien gewinnen:

Anzahl Kreise      Anordnungskreisradius
4 4,98 cm
5 6,83 cm
6 9,01 cm
7 11,54 cm
8 14,38 cm
9 17,55 cm
10 21,04 cm
11 24,85 cm
12 28,98 cm
13 33,43 cm
14 38,20 cm
15 43,29 cm
16 48,70 cm

Zur Erinnerung: Bei 16 Kreisen beispielsweise produziert der Algorithmus die Reihenfolge [17, 3, 15, 5, 13, 7, 11, 9, 10, 8, 12, 6, 14, 4, 16, 2], wobei die Zahlen die Radien der Kreise in Zentimetern sind. Das Ergebnis sieht aus wie ein Riesenrad:

16_kreise

Es fällt auf, dass aufeinanderfolgende Radien sich abwechselnd zu 20 cm und 18 cm addieren und nur zweimal zu 19 cm. Das vereinfacht die Gleichung zu 7*arcsin(10/R) + 7*arcsin(9/R) + 2*arcsin(9,5/R) = 180°.

Und bei einer anderen Anzahl an Kreisen n? Ist n ungerade, dann kommt nur einmal der Zwischenwert vor. Allgemein sind die Summen aufeinanderfolgender Radien n + 4 abwechselnd mit n + 2 und der Zwischenwert ist n + 3, er kommt 2 – n%2 mal vor. Die Gleichung zur Bestimmung von R lautet also scheinbar allgemein:

((n – 2 + n%2)/2)*(arcsin((n + 4)/(2*R)) + arcsin((n + 2)/(2*R)) + (2 – n%2)*arcsin((n + 3)/(2*R)) = 180°

Bild5428_960x960

*

Aber eigentlich war die Frage von unregelmäßigen Kreisen ausgegangen mit willkürlich gewählten Durchmessern, nämlich [7.7, 7.1, 6.3, 6.1, 4.4, 4.1, 3.9, 3.1] nachgemessen. Für die errechnet sich der Anordnungskreisdurchmesser als 13.95.

acht_kreise_768x768

Schreibe einen Kommentar

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s


%d Bloggern gefällt das: