Kreise und Vieleck

kreise_und_vieleck

1. Bei neun Kreisen nimmt die gelbe Fläche wieviel Prozent der Neuneckfläche ein?
2. Ab wieviel Kreisen überschreitet die gelbe Fläche 90 Prozent der Vieleckfläche?
3. Bei wieviel Kreisen liegt die gelbe Fläche am nächsten an 3/4 der Vieleckfläche?

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kreise_und_vieleck_skizze

Das n-Eck in 2*n rechtwinklige, gleich große Dreiecke zerteilen. Der Winkel β ist (2*π)/(2*n) = π/n. Dann ist der Winkel α = π – π/2 – β = π/2 – π/n = π*(n – 2)/(2*n). Die Strecke R ist r/sin(β) = r/sin(π/n). Die Strecke a ist r/tan(β) = r/tan(π/n) und damit die Dreiecksfläche a*r/2 = r^2/(2*tan(π/n)). Der Kreissektor innerhalb der Dreiecksfläche hat die Fläche (α/(2*π))*π*r^2 = π*(n – 2)/(4*n)*r^2. Die gelbe Fläche bleibt, wenn man die Kreissektorfläche von der Dreiecksfläche abzieht. Daher verhält sie sich zur Dreiecksfläche wie 1 – Kreissektorfläche/Dreiecksfläche = 1 – (π*(n – 2)/(4*n))*(2*tan(π/n)) = 1 – ((n – 2)/(2*n))*π*tan(π/n).

Die Formel für das gesuchte Verhältnis in Abhängigkeit von der Anzahl n der Kreise lautet also:

V(n) = 1 – ((n – 2)/(2*n))*π*tan(π/n)

Beim Neuneck macht das V(9) = 1 – (7/18)*π*tan(π/9) = 55,5 %.

Nach n lässt sich die Formel leider nicht leicht auflösen. Abhilfe: Die Reihenentwicklung des Tangens benutzen: tan(x) = x + … In unserem Fall sind π/n die kleinen x und wenn wir tan(π/n) durch π/n ersetzen, wird die Formel zu:

V(n) = 1 – ((n – 2)/(2*n))*π*π/n = 1 – ((n – 2)/(2*n^2)*π^2

Beide Seiten mit n^2 multipliziert ergibt das eine quadratische Gleichung für n(V), die sich lösen lässt:

n^2 – (π^2/(2*(1 – V)))*n + π^2/(1 – V) = 0

Damit lässt sich für die Fragen 2 und 3 wenigstens ein Näherungswert für n gewinnen, den es dann vorwärts zu überprüfen gilt. Bei Frage 2 ergibt dieses Vorgehen ein abgeschätztes n von 47,3, bei Frage 3 von 17,5.

Oder einfach eine Tabellenkalkulation benutzen und bis zu hoch genugen n aufziehen:

n   Verhältnis
3 9,3 %
4 21,5 %
5 31,5 %
6 39,5 %
7 46,0 %
8 51,2 %
9 55,5 %
10 59,2 %
17 74,1 %
18 75,4 %
19 76,5 %
47 89,9 %
48 90,1 %
49 90,3 %

Die Antworten lauten also:

1. 55,5 %
2. 48
3. 18

neuneck
achtundvierzigeck
achtzehneck

Beim 48-Eck kommt mir das Gelbe größer vor wie 90 %. Überprüfen: Der Radius des Polygons ist R = r/sin(π/48), seine Fläche ungefähr π*R^2 = π*r^2/sin(π/48)^2 ~= 234*π*r^2. Der weiße Rand besteht aus 48 Halbkreisen ungefähr, das sind 24 Vollkreise. Sie haben zusammen die Fläche 24*π*r^2, das ist ungefähr ein Zehntel der Polygonfläche, also ok.

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