Pappus-Kette

OLYMPUS DIGITAL CAMERAPappos von Alexandria, griechischer Mathematiker, Idealporträt

Die Mittelpunkte der Kreise mit Radius Rn sollen auf einer Ellipse liegen, da sie vom Mittelpunkt des kleinen weißen Kreises mit Radius Ru die Strecke Ru + Rn entfernt sind und vom Mittelpunkt des umschließenden großen Kreises mit Radius Rv die Strecke Rv – Rn. Denn die Summe der Distanzen zu diesen beiden Brennpunkten der Ellipse ist Ru + Rn + Rv – Rn = Ru + Rv, also konstant für alle n.

Auf der Zeichnung sieht es aber nicht wie eine Ellipse aus, sondern wie ein Kreis. Nachmessen: die Breite der gestrichelten Ellipse ist 548 Pixel, die Höhe 534 Pixel. Knapp. Also rechnen:

Sei Ru = c*Rv mit 0 < c < 1. Dann sind 2*Ru + 2*R1 = 2*Rv => R1 = Rv*(1 – c). Die Breite der Ellipse ist 2*Rv – R1 = Rv*(1 + c).

Die Brennpunkte der Ellipse liegen bei (Ru, 0) = (c*Rv, 0) und (Rv, 0). Sie liegen Rv*(1 – c) auseinander. Der Satz des Pythagoras gibt, dass (Rv*(1 – c)/2)^2 + (h/2)^2 = ((Ru + Rv)/2)^2 = (Rv*(1 + c)/2)^2 => h^2/4 = Rv^2*c => h = Rv*2*Wurzel(c).

Also steht eine Breite von 1 + c einer Höhe von 2*Wurzel(c) gegenüber.

c         Breite/Höhe
0,1 1,74
0,2 1,34
0,3 1,19
0,4 1,11
0,5 1,06
0,6 1,03
0,7 1,02
0,8 1,01
0,9 1,00

Im Falle der Grafik misst Ru 415/2 Pixel und Rv 685/2 Pixel. 415/685 = 0,61. Bei c = 0,61 ist das Verhältnis von Breite zur Höhe der Ellipse 1,03. Eine Höhe von 534 Pixeln mal 1,03 macht eine Breite von 551 Pixeln. Kommt ungefähr hin.

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