Tal der Dämmerung

tal_der_daemmerung_2

Wie groß ist die schwarze Fläche?

*

*

*

*

*

*

*

*

1

*

1/16

*

1/16^2

*

1/16^3

*

1/16^4

*

1/16^5

*

1/16^6

*

1/16^7

*

1/16^8

*

1/16^9

*

1/16^10

*

1/16^11

*

1/16^12

*

1/16^13

*

*

*

*

*

*

*

tal_der_daemmerung_skizze

Von dieser schwarzen Fläche kann man fraktal ausgehen. Auf das Hochplateau muss dann dieselbe Fläche wieder gesetzt werden mit Viertelbreite und Viertelhöhe nur noch, also Sechzehntelfläche. Und so weiter soll sich das wiederholen zum Bildrand hin ad infinitum. Die geometrische Reihe 1 + 1/16 + (1/16)^2 + … konvergiert gegen 16/15.

Wie groß ist nun jene schwarze Anfangsfläche? Das Bergdreieck hat Breite und Höhe 1/2 und also die Fläche 1/8. Das Dreieck unter dem Plateau hat Breite 1/8, Höhe 1/4 und also die Fläche 1/64. Zusammen macht das 9/64.

Der Bergzug links von der Mitte hat somit die Fläche (9/64)*(16/15) = 3/(4*5) und der gesamte Bergzug das Doppelte 3/(2*5) = 3/10.

Da das Bild 16 Kästchen breit wie hoch ist, füllt die schwarze Fläche 256*3/10 = 76,8 Kästchen.

Schreibe einen Kommentar

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s


%d Bloggern gefällt das: