Blaue Kette

blaue_kette

Wie groß sind alle blauen Kreise zusammen, wenn das Dreieck 1000 Pixel breit ist und 300 Pixel hoch?

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(Versuch weiter unten)

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Wenn w die Breite des Dreiecks ist und h seine Höhe, dann ist sein spitzer Winkel α bestimmt durch tan(α) = h/w. Seien Ri die Radien der blauen Kreise, angefangen mit dem größten links R0, dann liegen die Mittelpunkte der Kreise auf einer Geraden, die den Steigungswinkel -β hat, für den gilt tan(β) = R0/(w – R0). Außerdem gilt für einander berührende Kreise sin(β) = (R0 – R1)/(R0 + R1). Wenn wir ansetzen R1 = q*R0, dann folgt aus der zweiten Gleichung q = (1 – sin(β))/(1 + sin(β)). Der i-te Kreis hat die Fläche pi*Ri^2 = pi*R0^2*q^(2*i) und die Summe der Kreisflächen konvergiert gegen pi*R0^2/(1 – q^2).

q erhalten wir also aus β, β aus w und R0, jetzt gilt es noch R0 zu bestimmen. Daraus, wie der erste Kreis ins Dreieck eingepasst ist, folgt (w – R0*(1 + sin(α)))/w = R0*(1 + cos(α))/h mit tan(α) = h/w. Freigestellt macht das R0 = w*h/(w*(1 + cos(α)) + h*(1 + sin(α))) und das ergibt R0 = w*h/(w + Wurzel(w^2 + h^2) + h).

(Offenbar ist aus Symmetriegründen α = 2*β. Aber kürzt das irgendwas ab?)

Damit haben wir alles beisammen, um die Summen der blauen Kreisflächen zu bestimmen:

h/w    R0/w         q  Kreise  Dreieck  Prozent
0,1 0,048 0,905 0,039 0,05 78,4
0,2 0,090 0,821 0,078 0,10 78,1
0,3 0,128 0,746 0,116 0,15 77,5
0,4 0,161 0,682 0,153 0,20 76,6
0,5 0,191 0,626 0,189 0,25 75,4
0,6 0,217 0,579 0,222 0,30 74,1
0,7 0,240 0,538 0,254 0,35 72,5
0,8 0,260 0,503 0,283 0,40 70,9
0,9 0,285 0,472 0,311 0,45 69,1
1 0,300 0,446 0,337 0,50 67,3
2 0,382 0,311 0,507 1,00 50,7
3 0,419 0,262 0,592 1,50 39,5
4 0,439 0,238 0,640 2,00 32,0
5 0,450 0,224 0,671 2,50 26,8
6 0,459 0,215 0,693 3,00 23,1
7 0,464 0,208 0,708 3,50 20,2
8 0,469 0,204 0,720 4,00 18,0
9 0,472 0,200 0,730 4,50 16,2
10 0,475 0,197 0,738 5,00 14,8

Bei einer Dreieckshöhe von 300 gegenüber einer Breite von 1000 dürfte die blaue Fläche 77,5 % des Dreiecks ausmachen.

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