Blaskapelle

In einem älteren abiturnotenkritischen FAZ-Artikel ist eine „durchaus praxisnahe Aufgabe“ abgedruckt:

Eine Blaskapelle erhält einen Betrag von 10 000 Euro, um Trompeten und Posaunen anzuschaffen. In der erwünschten Qualität kosten eine Trompete 1050 Euro und eine Posaune 1200 Euro. Warum kann der zur Verfügung stehende Betrag nicht restlos ausgegeben werden? Welches ist der höchste Betrag, der ausgegeben werden kann, und wie viele Instrumente beider Arten werden jeweils für diesen Höchstbetrag angeschafft?

Eine Zerlegung in Primfaktoren liefert:

1050 = 2*3*5*5*7
1200 = 2*2*2*2*3*5*5
10 000 = 2*2*2*2*5*5*5*5

Beide Instrumentenpreise enthalten den Primfaktor 3, der im zur Verfügung stehenden Betrag nicht enthalten ist. Ginge es glatt auf, wäre B = m*T + n*P. Die 3 ließe sich in der Summe rechts ausklammern und wäre damit auch Primfaktor des Betrags. Da sie es nicht ist, kann der Betrag nicht restlos ausgegeben werden.

Vermutlich geht es eleganter, aber wegen der Minderzahl der Fälle ist auch Brute Force praktikabel:

n    n*P    B-n*P    m    m*T    m*T+n*P
8 9600 400 0 0 9600
7 8400 1600 1 1050 9450
6 7200 2800 2 2100 9300
5 6000 4000 3 3150 9150
4 4800 5200 4 4200 9000
3 3600 6400 6 6300 9900
2 2400 7600 7 7350 9750
1 1200 8800 8 8400 9600
0 0 10000 9 9450 9450

Der höchste Betrag, der ausgegeben werden kann, sind 9900 Euro, wovon 6 Trompeten und 3 Posaunen gekauft werden.

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