Fraktale Spirale

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1. Wieviel Kästchen ist die schwarze Linie lang, wenn sie sich bis ins unendlich Kleine fortsetzt?

2. Bei welchen Kästchenkoordinaten endet sie, wenn der Ursprung links oben liegt, die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach unten zeigt?

3. Teile die Summe der Endpunktkoordinaten durch die Linienlänge, nimm das Ergebnis mal 150, bestimme davon den Logarithmus zur Basis 2 und drehe das Ergebnis um π. Welche Zahl steht nach der Drehung da?

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ℒ weiter unten

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Die Linie ist im ersten Schritt fünf Mal neun Kästchen lang, im zweiten fünf Mal drei, im dritten fünf Mal eines, im vierten fünf Mal ein drittel, und so weiter. In jedem Schritt verkürzt der hinzuzufügende Teil sich auf ein Drittel des vorigen. Die geometrische Reihe Summe(k=0..n; (1/3)^k) konvergiert für n gegen unendlich gegen 1/(1 – 1/3) = 1/(2/3) = 3/2. Die Linienlänge beträgt daher 5*9*3/2 = 135/2 = 67,5 Kästchen.

Bei der Bestimmung der Endpunktkoordinaten die Schlaufen auslassen und nur von Kreuzungspunkt zu Kreuzungspunkt wandern. Der erste Schritt geht neun Kästchen nach unten, der zweite drei nach rechts, der dritte eines nach oben, der vierte ein drittel nach links, und so weiter mit (1/3)^4 = 1/81 der anfänglichen Längen. Die geometrische Reihe Summe(k=0..n; (1/81)^k) konvergiert für n gegen unendlich gegen 1/(1 – 1/81) = 81/80. Die x-Koordinate des Endpunkts ist daher (3 – 1/3)*(81/80) = (8/3)*(81/80) = 27/10. Die y-Koordinate ist 3*x = 81/10. Weil der Startpunkt der Linie aber bei den Koordinaten (18, 0) liegt, muss der Endpunkt um diesen verschoben werden und landet dann bei (207, 81)/10.

Die Summe der Endpunktkoordinaten ist 288/10 = 144/5. Geteilt durch die Streckenlänge macht das (144*2)/(5*135) = 288/675. Der ggT ist 9 und raus kommt 32/75 = 0,42 Periode 6. Weil wir das Ergebnis aber mal 150 nehmen sollen, lieber beim Bruch bleiben, denn 150/75 = 2, und raus kommt 32*2 = 64, was 2^6 ist. Die Ziffer 6 wird um 180° gedreht zu einer 9, die somit die Antwort auf die dritte Frage darstellt.

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