Paulas Kartenhaus

Paula Erdösz baut als Vierjährige gerne Kartenhäuser. Jede Etage besteht aus vier Karten, die nach Norden, Osten, Süden und Westen weisen. Die vier Karten der untersten Etage zieht sie wahllos aus dem gut durchmischten Stapel. Die höheren Etagen errichtet sie dann aber nach Regeln. Diese Regeln arbeitet sie von oben nach unten ab. Das heißt, dass eine tiefere Regel eine höhere toppt, meint überschreibt.

Wenn Paulas Regelset nun so aussieht:

1. Verwende die Farbe der in dieselbe Richtung zeigenden Karte eine Etage tiefer.
2. Falls die Karte in der gegenüberliegenden Richtung eine Etage tiefer Kreuz ist, dann verwende Herz.
3. Verwende für die nach Osten zeigende Karte die Farbe der nach Süden zeigenden Karte drei Etagen tiefer.
4. Verwende für die nach Westen zeigende Karte das Ergebnis einer Berechnung gemäß einer Funktion f, angewendet auf die Farben der beiden nach Osten und Süden zeigenden Karten eine Etage tiefer, die im Folgenden erläutert ist: Weise den Farben [„Kreuz“, „Pik“, „Herz“, „Karo“] die Werte [0, 1, 2, 3] zu. Dann soll f zwei Farben auf eine neue abbilden gemäß (Farbe1 + Farbe2)%4.

welche Farben hat dann die nach Westen zeigende Karte der sechsten Etage keinesfalls?

*

Führen wir den Algorithmus beispielhaft durch und starten mit irgendeiner Zufallskonstellation der untersten Etage. Es gibt 4^4 = 256 solcher Startkombinationen:

Etage Nord Ost Süd West
1 Pik Karo Pik Kreuz

Regel 1 erzwingt für die zweite Etage zunächst:
2 Pik Karo Pik Kreuz
Die Voraussetzung von Regel 2 ist erfüllt, daher überschreibt sie Karo mit Herz:
2 Pik Herz Pik Kreuz
Für Regel 3 sind noch nicht genug Etagen vorhanden.
Karo + Pik = (3 + 1)%4 = 0 = Kreuz. Die Anwendung von Regel 4 ändert nichts:
2 Pik Herz Pik Kreuz

Die dritte Etage nach Regel 1:
3 Pik Herz Pik Kreuz
Regel 2 ändert nichts:
3 Pik Herz Pik Kreuz
Regel 3 lässt sich noch nicht anwenden.
Herz + Pik = (2 + 1) = 3 = Karo. Daher überschreibt Regel 3 Kreuz mit Karo:
3 Pik Herz Pik Karo

Die vierte Etage nach Regel 1:
4 Pik Herz Pik Karo
Regel 2 kommt nicht zur Anwendung, da eine Etage tiefer kein Kreuz vorliegt.
Regel 3 kommt erstmals zum Einsatz und überschreibt Herz mit Pik:
4 Pik Pik Pik Karo
Herz + Pik = 2 + 1 = 3 = Karo. Daher ändert Regel 3 nichts:
4 Pik Pik Pik Karo

Die fünfte Etage nach Regel 1:
5 Pik Pik Pik Karo
Regel 2 kommt wieder nicht zum Einsatz. Regel 3 ändert nichts:
5 Pik Pik Pik Karo
Pik + Pik = 1 + 1 = 2 = Herz. Daher überschreibt Regel 4 Karo mit Herz:
5 Pik Pik Pik Herz

Die sechste Etage nach Regel 1:
6 Pik Pik Pik Herz
Regel 2 kommt nicht zum Einsatz. Regel 3 ändert nichts.
Pik + Pik = 1 + 1 = 2 = Herz. Regel 4 ändert nichts:
6 Pik Pik Pik Herz

Es ist Invarianz erreicht.

*

Welche Gesetzmäßigkeit dahintersteckt, weiß ich noch nicht, aber Ausprobieren aller Startkombinationen (Brute Force) erzeugt nur Ergebnisse mit 0 oder 2, das ist Kreuz oder Herz, in der sechsten Etage nach Westen hin. Pik und Karo kommen niemals vor. Daher lautet die Antwort: Pik und Karo.

Laus Leber mit den Einzelheiten:

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3210>3213>3213>3113>3112>3112
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3301>2303>2303>2003>2000>2000
3302>2303>2303>2003>2000>2000
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3311>3310>3210>3113>3112>3112
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3330>3232>3231>3331>3332>3332
3331>3332>3332>3332>3332>3332
3332>3332>3332>3332>3332>3332
3333>3332>3332>3332>3332>3332

Auszählen ergibt für die sechste Etage gerichtet nach
Norden: 48 Kreuz, 48 Pik, 112 Herz, 48 Karo.
Osten: 48 Kreuz, 48 Pik, 112 Herz, 48 Karo.
Süden: 48 Kreuz, 48 Pik, 112 Herz, 48 Karo.
Westen: 160 Kreuz, 0 Pik, 96 Herz, 0 Karo.

*

Vielleicht so:

Kreuz auf Nord in der untersten Etage hat nach Regel 2 schon in der zweiten Etage Herz auf Süd zur Folge. Keine Regel verändert die Farbe auf Süd dann wieder weg von Herz. Auch andere Farben von Süd bleiben zwischen der zweiten und der fünften Etage bestehen, weil keine Regel Nord nach Kreuz verändert. Somit entspricht die Farbe von Süd in der fünften Etage der von Süd in der zweiten Etage.

In der fünften Etage bekommt nach Regel 3 Ost die Farbe von Süd in der zweiten Etage und stimmt somit mit Süd in der fünften Etage überein. Die nachfolgende Regel 4 verändert weder Süd noch Ost, daher sind nach Abarbeitung aller Regeln die Farben von Süd und Ost gleich in der fünften Etage.

Gleiche Farben von Ost und Süd sorgen für eine gerade Summe. Die Division durch 4 lässt einen geraden Rest, weshalb nach Regel 4 in der sechsten Etage nach Westen hin niemals 1 = Pik oder 3 = Karo auftreten können.

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