Äskulapschlange

Als Chiron von einem Waldspaziergang zurückkehrt an den Strand, sitzt Äskulap im Sand und zeichnet seinem Lehrer eine Aufgabe hin:

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“Wenn diese neun Halbkreise Durchmesser haben, die den ersten neun Primzahlen in Zentimetern entsprechen, wie groß ist dann die sandfarbene Fläche?”

Chirons Geometriestunden bei Archimedes sind schon geraume Zeit her. Er kämmt mit dem Huf seinen wallenden Bart. Der junge Asklepios wird ungeduldig. “Oder anders gefragt. Wenn ich statt der Schlange eine Äskulaplure hinzeichnen würde gleicher Länge und gleicher Fläche, welchen Durchmesser hätte dann die Schallöffnung der Lure?”

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Cheiron kann sich nicht entscheiden. “Wäre Multiple Choice eine Möglichkeit?” Der angehende Arzt lehnt ab. “Telefonjoker?” “Nein. Noch mal anders gefragt. Wäre der Durchmesser der Schallöffnung größer oder kleiner als der Durchmesser des größten Kreises meines Äskulapstabs?”

Chiron überschlägt seine Chancen, verrechnet sie mit dem Aufwand einer Rechnung, zählt “Ene mene muh” ab, bestimmt die Anzahl dessen Silben, kommt auf fünf, bestimmt den Rest einer Division durch zwei, kommt auf eins und wählt, da der andere Rest null wäre, “kleiner”. Der Zentaur legt sich hin.

Liegt er richtig?

*

Archimedes kommt vorbei. Er sagt: „Ich bin auf Strandspaziergang. Der auflandige Wind hat eure Stimmen über die Dünen getragen. Also bin ich ablandig gestreift und hab euch nun gefunden. Seht her, dieses Artefakt hab ich einst anfertigen lassen. Es ähnelt eurem Problem. In Buchara hab ich es emaillieren lassen.“ Er legt das unterm Arm Getragene in den nassen Sand.

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„Klappt man deine Halbkreise, Asklepios, alle nach oben und halbiert deine Lure und setzt sie unten dran, ist es exakt unsere Gestalt. Was habt ihr denn raus?“

Äskulap ritzt die Rechnung in den Sand: Die ersten neun Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 und 23. Ihre Summe l ist 100. Ihre Quadrate sind 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361 und 529. Aufsummiert macht das 1556. Die grüne Fläche F ist das mal pi/8. Aus pi > 3 folgt pi*1556/8 = pi*389/2 > 1167/2. Aufgrund der Flächengleichheitsforderung von Rot und Grün muss die Dreieckshöhe h = 2*F/l sein, das ist 1167/100 > 1150/100 = 23/2. Hier ist die Dreieckshöhe also größer als der Radius des größten Halbkreises.“

Archimedes: „Kann man die Kette denn soweit fortsetzen, dass die Höhe irgendwann kleiner als der letzte, größte Radius ist?“

Äskulap: „Am Anfang jedenfalls ist sie es noch nicht. Denn der erste Halbkreis hat den Durchmesser 2, also den Radius 1. Seine Fläche ist pi/2 ~= 1,5. Ein Dreieck der Länge 2 muss die Höhe 1,5 haben, um dieselbe Fläche zu besitzen. Hier ganz am Anfang ist h demnach größer als r. Ich hab das für alle n von 1 bis 9 mal von Hand ausgerechnet und solche Verhältnisse h/r erhalten: 1,57, 1,36, 1,19, 1,15, 1,06, 1,11, 1,06, 1,10, 1,06.“

„Löblich von Hand“, sagt Archimedes. „Wir haben es damals in alle vier Himmelsrichtungen geschickt. Nach England an eine mathematische Gesellschaft, die sich ‚Kritiker der runden Tafel‘ nannten. Seltsamer Name. Ihr Präsident A. C. Bartus schrieb mir, sie bevorzugten eine rechteckige Tafel. Er schließt seine Schreiben mit: ‚Et cetero censeo tabula rectangula superior.‘ Nach Mazedonien an ein Büro Alexander. Nach 成周 an den Kaiserhof der Östlichen Zhou-Dynastie. Und nach Patna zu आर्यभट.

Das Schiff von England ist gesunken. Die Karawane in Suez knapp dem Todesdurst entronnen. Also haben wir drei Rückläufe. Zum Glück stimmen zwei haargenau überein, sodass ich diese als fehlerfrei anerkenne. Die Tafel der Östlichen Zhou-Dynastie hat die 49 als Primzahl drin, was alles in der Folge verhaut. Sie kommen auf acht Fälle, wo die Dreieckshöhe kleiner ist als der Radius des größten Halbkreises. Die anderen beiden nur auf zwei, nämlich bei 31 Halbkreisen, da hat der größte einen Durchmesser von 127, und bei 48 Halbkreisen, wo der größte einen Durchmesser von 223 hat.“

„Definitiv?“, fragt Chiron, der nicht die Bohne verstand. Archimedes: „Was uns in unserem Tasten bestätigt, ist ein Artefakt, welches Empedokles aus dem Krater des Ätna barg. Es ist eine Kurve, welche so aussieht:

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Wir denken, dass sie das Verhältnis h/r aufträgt gegenüber der Anzahl der Halbkreise n. Die Kurve geht aus irgendeinem unzureichenden Grunde nur bis 32.000. Sie ist datiert: MIr, nIX MIhI!“

Asklepius: „Archimedes, magst du etwas für mich tun? „Was denn, mein Junge?“ „Du lebst doch im reichthumspendenden Schatten des Diktators. Kannst du mir zu einer Kette verhelfen, die ich meiner Mitschülerin Ada Liebesband schenken möchte, in die ich verliebt bin?“ „Das geht schon, ja. Ich werde einfach behaupten, seine Krone sei nicht aus echtem Gold, und das Echtgold werde ich verscherbeln.“

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„Ich bin gespannt“, verrät Asklepios, „ob sie die Anomalität errät.“ Und meine Liebe verdient, ergänzt im Stillen der hellsichtige Chiron.

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