Ellipse um Kreise

ellipse_um_kreise

Gedacht, dass diese Ellipse die drei Kreise am engsten umhülle. Fest davon ausgegangen, dass ihre Brennpunkte in den Mittelpunkten der äußeren Kreise sitzen müssten. Dann folgt aus der Berührung der Ellipse mit den drei Kreisen in den zwei Punkten, dass die Summe der Abstände von beiden Brennpunkten 6*r ist, wenn r der Radius der gleich großen Kreise ist. Und Pythagoras sagt, dass für die kleine Halbachse b gilt: (2*r)^2 + b^2 = (3*r)^2 => b = Wurzel(5)*r. Die große Halbachse ist a = 3*r. Zu beweisen blieb, dass dieses das kleinstmögliche b ist, sodass die Ellipse alle Kreise so gerade noch umhüllt. Der Beweis:

Fürs erste angenommen, dass die kleinste umhüllende Ellipse die große Halbachse 3*r hat, was zwei Berührpunkte mit den Kreisen bedeutet. Für alle Punkte (x, y) auf der Ellipse soll nun gelten, dass ihr Abstand zum Mittelpunkt (-2*r, 0) des linken Kreises größergleich r ist, insbesondere für Punkte nahe der x-Achse. Auf der x-Achse ist x = -a = -3*r und y = 0 und daher der Abstand 3*r – 2*r = r exakt gleich r. Es empfiehlt sich, die x nahe -3*r zu entwickeln als x = -3*r + dx mit kleinen, positiven dx. x^2 ist dann (-3*r + dx)^2 = 9*r^2 – 6*r*dx + dx^2, wobei dx^2 klein gegen dx ist.

Für alle x also soll |(x, y) – (-2*r, 0)| >= r sein. Die linke Seite ist Wurzel((x + 2*r)^2 + y^2). Die Ellipsengleichung x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 lässt sich auflösen nach y^2 = b^2 – (b^2/a^2)*x^2. Die große Halbachse ist durch die Annahme vorgegeben und es bleibt y^2 = b^2 – (b^2/(9*r^2))*x^2. Das unter der Wurzel eingesetzt ergibt Wurzel((x^2 + 4*r*x + 4*r^2 + b^2 – (b^2/(9*r^2))*x^2). Das x um -3*r entwickelt lässt unter Vernachlässigung des dx^2-Terms unter der Wurzel übrig: Wurzel(9*r^2 – 6*r*dx – 12*r^2 + 4*r*dx + 4*r^2 + b^2 – (b^2/(9*r^2))*9*r^2 + (b^2/(9*r^2))*6*r*dx) = Wurzel(r^2 + (2*b^2/(3*r) – 2*r)*dx). Damit die Wurzel >= r bleibt, muss 2*b^2/(3*r) – 2*r >= 0 sein für alle dx > 0. Aus dieser Bedingung lässt sich b eingrenzen auf b >= Wurzel(3)*r.

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Ergebnis: Eine Ellipse mit den Halbachsen n*r und Wurzel(n)*r umhüllt eine Reihe von n gleich großen Kreisen enger als die vermutete Ellipse mit den Halbachsen n*r und Wurzel(2*n – 1)*r, deren Brennpunkte in den Mittelpunkten der äußeren Kreise liegen.

Wo liegen die Brennpunkte der engeren also? Eine Formel gibt e = Wurzel(a^2 – b^2) = Wurzel(9*r^2 – 3*r^2) = Wurzel(6)*r ~ 2,45*r statt vorher e = Wurzel(9*r^2 – 5*r^2) = 2*r. Die Brennpunkte liegen deutlich weiter außen.

Offen ist mir noch, ob es nicht vielleicht eine alle Kreise umhüllende Ellipse mit noch kleinerer Fläche gibt, die vielleicht eine Halbachse a > n*r hat und damit vier Berührpunkte mit den Kreisen und dadurch eine deutlich kleinere Halbachse b möglich wird, sodass die Fläche π*a*b noch kleiner wird.

Ja, die gibt es:

ellipse_um_kreise_4

Hier ist a mal willkürlich auf 4*r gesetzt. Die Ellipse berührt den linken Kreis, wenn b^2 = r^2*(13 – Wurzel(105))/2 ist, das ist b ~= 1,17*r. 4*1,17 = 4,7 ist kleiner als 3*Wurzel(3) ~= 5,2. Zu erlauben sind also a > n*r und zu suchen solche, für die die umhüllende Ellipsenfläche am kleinsten ist.

OLYMPUS DIGITAL CAMERA

Viele Blätter schon vollgeschrieben, aber das Optimum noch nicht gefunden. Komme auf

gleichung_b_von_a

damit die Ellipse den linken Kreis in einem Punkt berührt. Die Fläche ist π*a*b. Hier b(a) einsetzen würde die Ellipsenfläche ergeben als nur noch Funktion der großen Halbachse a. Sie ist zu minimieren, also nach a ableiten und gleich null setzen. Das würde das a und damit auch b(a) ergeben, für welche die umhüllende Ellipse am kleinsten ist. Daran scheitere ich bislang.

*

Numerisch optimiert:

ellipsen_um_kreise_numerisch_optimiert_450

n           a         b     Ellipse     Ellipse:Kreise
1 1,00 1,00 3,1 1,00
2 2,12 1,23 8,2 1,30
3 3,35 1,31 13,8 1,47
4 4,64 1,36 19,8 1,57
5 5,97 1,38 25,9 1,65
6 7,33 1,39 32,0 1,70
7 8,71 1,40 38,2 1,74
8 10,09 1,40 44,4 1,77
9 11,49 1,40 50,7 1,79
10 12,88 1,41 56,9 1,81

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