Kreisspirale

Aufgabe, in müßiger Stunde ausgedacht:

kreisspirale_bunt_2

Man zeichne einen Einheitskreis (das ist der mit dem fetten Mittelpunkt) und beginne nach rechts. Gehe in die aktuelle Richtung bis zum Rand des Kreises, dann gehe die gegangene Strecke am Umfang ab, der erreichte Punkt soll der Mittelpunkt des nächsten Kreises sein. Nimm als Radius des nächsten Kreises die Sekante. Sie ist kleiner als der abgegangene Kreisbogen. Fahre so fort. Die Konstruktion des ersten (rot), zweiten (grün) und dritten (blau) Spiralabschnitts (fett) ist hier mal eingezeichnet. Die roten Strecken sind gleichlang, dito die grünen und die blauen. Die Frage stellt sich, bei welchem Punkt konvergiert dieser – Feuilletonisten, buhhuh! – Algorithmus? Aus der Zeichnung geschätzt bei zirka (-0.5, 1), wenn die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach unten zeigt.

Wie eine Spirale bewegen sich die Kreismittelpunkte auf den Fluchtpunkt zu. Die Radien werden mit dem konstanten Faktor q := 2*sin(1/2) sukkzessiv kleiner: r(n+1) = q*r(n) und der Winkel, der hinzukommt, ist immer derselbe Winkel 1 im Bogenmaß, daher herrscht im n-ten Schritt ein Gehwinkel zur Anfangsrichtung von n. Der Endpunkt hat demnach die Koordinaten sum(q^n*(cos(n),sin(n)),n=0,unendlich). Wäre es sum(q^n,n=0,unendlich), wäre es eine geometrische Reihe, die konvergiert, falls q < 1 ist, was hier der Fall ist, da 2*sin(1/2) ~= 0.96 ist. Weil Sinus und Kosinus im Bereich [-1, 1] bleiben, gilt die Konvergenz auch mit ihnen als Faktoren noch. Aber wie kann ich den Konvergenzpunkt ausrechnen, wenn der Weg durch den Sinus und den Kosinus sich immerfort dreht um ihn herum?

Ein Tipp auf dem Matheplaneten weist auf die eulersche Formel hin: e^(iφ) = cos(φ) + i*sin(φ). Damit klappt es nun, denn φ ist hier im Fall n*φ_0 und e^(i*n*φ_0) = e^(i*φ_0)^n nach den Potenzgesetzen. Dann lassen sich q^n und e^(i*n*φ_0) zu einem Term (q*e^(i*φ_0))^n zusammenfassen und die geometrische Reihe konvergiert gegen 1/(1 – q*e^(i*φ_0)). Jetzt e^(i*φ_0) wieder durch cos(φ_0) + i*sin(φ_0) ersetzen, ein bisschen rumrechnen und raus kommt als Fluchtpunkt (cos(φ_0) – q, sin(φ_0))/(1 – 2*q*cos(φ_0) + q^2).

In unserem Fall waren φ_0 = 1 und q = 2*sin(φ_0/2) = 2*sin(1/2) ~= 0.96 => der Fluchtpunkt befindet sich bei (-0.47, 0.95). Lässt man nun q gegen 1 gehen, nähert sich die Fluchtspirale einem Sechseck, das nicht mehr konvergiert. Bei φ_0 = 1.04 ist q = 0.994 und die Spirale konvergiert gegen (-0.50, 0.88). Bei φ_0 = 1.047 ist q = 0.9998 und die Spirale konvergiert gegen (-0.4999, 0.8664). Grenzwertig konvergiert sie gegen (-1/2, sqrt(3)/2), das entspricht (cos(60°), sin(60°)), dem Zentrum des Sechsecks, das fast begangen wird, weil der Drehwinkel fast 60° beträgt, denn q = 1 => φ_0 = 2*arcsin(1/2) = 60°.

Hier der Fall φ_0 = 1.04:

kreisspirale_bunt_104_2

Nun sind die roten Strecken nicht mehr gleichlang, sondern der rote Kreisbogen ist das 1,04-fache des roten Radius. Der Drehwinkel φ_0 ist 180°*1.04/π ~= 59,6°. Im ersten Bild, wo Kreisbogen gleich Radius war, war φ_0 = 180°/π ~= 57,3°. Der Drehwinkel darf nur bis exklusiv 60° gehen, denn dann würde die Sekante mit den Radien ein gleichseitiges Dreieck bilden und die Fluchtspirale in solch ein reguläres Hexagon entarten:

kreisspirale_bunt_grenzfall

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