Fünfeck mit Vierecken überdecken

Auf dem Matheplaneten ein interessantes Problem, dessen Fortgang ich gestern interessiert verfolgte, auch fern von daheim. Die Aufgabe besteht darin, ein Quadrat der Fläche 1 mit drei Dreiecken der Flächen 1/3 möglichst vollständig abzudecken. Die vorgeschlagenen Lösungen ließen zwei Dreiecke im Bereich des Quadrats und das dritte mal mit einer, mal mit zwei und schließlich beim vorläufigen Optimum mit drei Ecken über es hinausragen. Die ersten beiden Varianten ließen sich nachvollziehen, aber man fragte sich gespannt, welche Variation nun zu der Abdeckung > 98,5 % führen könne, die haribo am Vorabend um 20:42 angekündigt hatte.

Was ich auch mal ausprobiert hatte, war:

quadrat

Hier ist, weil das grüne Dreieck 1/3 groß sein soll, seine Kathete Wurzel(2/3) lang. Das rote Dreieck ebenso und seine halbe Hypotenuse daher 1/Wurzel(3). Der schräge Spalt hat die Breite Wurzel(2) – Wurzel(2/3) – 1/Wurzel(3) ~= 0,02. Seine Länge ist etwas größer als die Hypotenuse, die 2/Wurzel(3) ~= 1,155 beträgt. Daher ist seine Fläche größer als 0,0235, was eine Abdeckung von weniger als 97,65 % macht.

Überlegt, wie man es höherschrauben könne. Mach aus dem Quadrat ein Pentagon und aus drei Dreiecken vier Vierecke. Leider nicht so herausfordernd, denn man kommt den 100 % ganz nahe, ohne die vier Vierecke aus dem Pentagon herauszubewegen:

fuenfeck

Das Viereck in der Spitze ist so konstruiert, dass es exakt die Fläche 1/4 hat. Das Trapez unten ebenso. Lässt man die Breite des Spalts in der Mitte nun gegen 0 gehen, dann bekommen die beiden seitlichen Vierecke auch die Flächen 1/4. Ganz 0 geht nicht, dann wäre das Trapez unten zum Dreieck entartet, was nicht erlaubt ist. Aber beliebig nahe, daher gelangt die Abdeckung beliebig nahe an die 100 % heran. Nicht so spektakulär also wie die Überdeckung des Quadrats durch drei Dreiecke…

Btw. ist der Spalt in der Mitte fünfeckig und sieht wie ein kopfloses Männchen aus:

fuenfeck_luecke_3

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