Apfelmännchen für Arme

kreise_anteil_beschnitten

Es stellte sich die Frage – also kein Lehrer unwilligen Schülern, wie Dritte gern vorschnell vermuten -, sondern Geist dem Geist: Wieviel Prozent des Quadrats sind grau?

Wenn das Quadrat das Einheitsquadrat ist – o.B.d.A., wie die Profis gern sagen -, dann sind die Radien der beiden größten Kreise r_0 = 1/2 und r_1 = (Wurzel(2) – 1)/2. Die weiteren Radien r_n lassen sich rekursiv mit dem Satz des Pythagoras gewinnen: (r_0 + r_n)^2 = r_0^2 + h_n^2 mit h_n = r_0 – r_1 – Summe(i=2..n-1, 2*r_i) – r_n. r_n^2 hebt sich weg und es bleibt eine lineare Gleichung für r_n stehen, die sich auflösen lässt nach r_n = (r_0 – r_1 – 2*S_n)^2/(4*r_0 – 2*r_1 – 4*S_n) mit S_n = Summe(i=2..n-1, r_i).

Damit haben wir nach dem n-ten Schritt die graue Fläche U_n = π*(r_0^2 + r_1^2 + 4*Summe(i=2..n, r_i^2)) zusammen, die eine untere Schranke des gesuchten Werts bildet, weil nur noch weitere Halbkreise hinzukommen. Die zugehörige obere Schranke bekommen wir, indem wir den weißen Raum, in den die weiteren Halbkreise zu liegen kommen, als komplett grau ansehen. Dieser weiße Raum lässt sich als das Achtfache eines Dreiecks der Höhe h_n weniger einem Sektor des größten und einem Sektor des bislang kleinsten Kreises verstehen. Seine Fläche beträgt D_n = 4*(h_n – r_0^2*arctan(h_n) – r_n^2*(π/2 – arctan(h_n))). Die obere Schranke ist dann O_n = U_n + D_n.

So klemmt man die wahre graue Fläche, die von unendlich vielen, immer kleiner werdenden Kreisen gebildet wird, immer mehr ein und wenn die beiden Schranken sich in der gerundeten k-ten Stelle nicht länger unterscheiden, können diese k Stellen als gesichert gelten. Ist etwa eine Genauigkeit von vier Nachkommastellen gewünscht, dann lässt man eine Tabellenkalkulation das machen und findet, dass nach 121 Kreisen die untere Schranke 96,97925018 Prozent ist und die obere 96,97928819, d.h. 96,9793 Prozent sind sicher.

Fraktal ist die Struktur natürlich nicht, weil sie beim Hineinzoomen sich nicht ähnlich bleibt, sondern der Keil, in den die Kreise sich pressen müssen, immer weniger gebogen ist.

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